南关小学的学生毕业后通常会升入当地的初中，具体上哪个学校取决于以下几个因素：
教育资源分配：
通常，当地会根据学生的居住区域分配到最近的初中，或者根据学生的成绩和特长分配到不同类型的学校。
升学政策：
不同地区的升学政策有所不同，有的地方实行就近入学，有的地方则可能采取摇号或者考试等方式进行分配。
家长意愿：
家长也可能根据自己的意愿和孩子的实际情况选择学校。
对口初中：这是指根据户籍或居住地，由当地教育部门指定的初中。
特长学校：如果学生有特殊才艺或特长，可以选择相关的特色学校。
民办学校：家长也可以选择民办初中，但这类学校通常需要通过考试或面试。
建议家长和学生提前了解当地的教育政策和学校情况，以便做出最适合的选择。