在初中阶段，我们可以通过多种方法来证明正弦定理。以下是一种简单的方法：
利用三角形的高证明
构造垂线
在任意三角形ABC中，作高CH⊥AB于点H。
应用三角函数
在直角三角形ABH中，有 $\sin B = \frac{CH}{AB}$，即 $CH = AB \cdot \sin B$。
在直角三角形ACH中，有 $\sin C = \frac{CH}{AC}$，即 $CH = AC \cdot \sin C$。
比较两个表达式
由于 $CH$ 是相同的，所以 $AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C$。
引入外接圆
考虑三角形ABC的外接圆，设其半径为R。
根据正弦定理，有 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$。
结合步骤3和步骤4
由于 $AB = c \cdot \sin C$ 和 $AC = b \cdot \sin B$，我们可以得到 $\frac{c \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{b \cdot \sin B}{\sin C}$。
通过交叉相乘，得到 $c \cdot \sin^2 C = b \cdot \sin^2 B$。
总结
由于 $\sin C$ 和 $\sin B$ 都不为零（在三角形中，角不能为0或180度），我们可以得到 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$。
这种方法利用了三角形的高和外接圆的性质，直观且易于理解，适合初中阶段的学生掌握。
其他证明方法
除了上述方法外，还可以通过以下几种方法证明正弦定理：
利用三角形的面积：通过计算三角形的面积公式，结合高和底边的关系，证明正弦定理。
利用向量的方法：通过向量的线性组合和模长关系，证明正弦定理。
利用外接圆的性质：通过外接圆的直径和角度关系，证明正弦定理。
这些方法虽然更复杂，但可以从不同角度加深对正弦定理的理解。对于初中阶段的学生，建议从最简单的方法开始，逐步掌握更复杂的方法。